Calcul du Courant de Court-Circuit d'un Transformateur

📋 1. Conventions et Notations

\(U_{20}\)	Tension secondaire à vide (V)
\(U_{2n}\)	Tension nominale composée au secondaire (V)
\(S_n\)	Puissance nominale apparente du transformateur (VA ou kVA)
\(I_n\)	Courant nominal au secondaire (A)
\(I_{cc}\)	Courant de court-circuit au secondaire (A)
\(Z_t\)	Impédance interne du transformateur ramenée au secondaire (Ω)
\(U_{cc}\%\)	Tension de court-circuit en pourcentage (%)

✅ CORRECTION IMPORTANTE : Distinction U₂₀ vs U₂ₙ
• U₂₀ : Tension mesurée au secondaire à vide (sans charge)
• U₂ₙ : Tension nominale de service au secondaire (avec charge nominale)
• Relation : U₂ₙ = U₂₀ - chute de tension due à Zt
• Pour les calculs de puissance nominale : S = √3 × U₂ₙ × Iₙ

⚠️ Note sur la notation \(Z_t\)
La notation \(Z_t\) désigne l'impédance interne totale du transformateur (résistance + réactance), mesurée lors de l'essai en court-circuit.

📖 2. Définitions Fondamentales

2.1 Courant Nominal

Le courant nominal est le courant que le transformateur peut fournir en régime permanent sans échauffement excessif.

\[I_n = \frac{S_n}{\sqrt{3} \times U_{2n}}\]

Pour un transformateur triphasé, où \(\sqrt{3} \approx 1.732\)

2.2 Courant de Court-Circuit

Le courant de court-circuit \(I_{cc}\) est le courant qui circule lorsque les bornes du secondaire sont court-circuitées (impédance de charge nulle). Ce courant est limité uniquement par l'impédance interne du transformateur \(Z_t\).

2.3 Tension de Court-Circuit \(U_{cc}\%\)

La tension de court-circuit est la tension qu'il faut appliquer au primaire (en % de la tension nominale) pour obtenir le courant nominal au primaire lorsque le secondaire est en court-circuit.

Valeurs typiques : 4% à 6% pour les transformateurs de distribution

2.4 Impédance Interne \(Z_t\)

L'impédance interne du transformateur comprend :

Résistance des enroulements (pertes Joule)
Réactance de fuite (flux magnétique non commun aux deux enroulements)

Cette impédance est considérée constante à fréquence fixe (50/60 Hz) pour les calculs de court-circuit.

🔬 3. Démonstration Rigoureuse

Objectif : Établir la relation entre \(I_{cc}\), \(I_n\) et \(U_{cc}\%\)

1 Situation de court-circuit

Lorsque le secondaire est en court-circuit, c'est en réalité la tension simple par phase \(V_{2n}\) qui est appliquée aux bornes de l'impédance interne \(Z_t\) (par phase) :

\[V_{2n} = I_{cc} \times Z_t\]

Or la tension simple s'exprime à partir de la tension composée \(U_{2n}\) par \(V_{2n} = \dfrac{U_{2n}}{\sqrt{3}}\), d'où :

\[V_{2n} = \frac{U_{2n}}{\sqrt{3}} = Z_t \times I_{cc}\]

Soit, en raisonnant avec la tension composée \(U_{2n}\) :

\[U_{2n} = \sqrt{3} \times I_{cc} \times Z_t\]

D'où :

\[Z_t = \frac{U_{2n}}{\sqrt{3} \times I_{cc}}\]

2 Définition de \(U_{cc}\%\)

Par définition, \(U_{cc}\%\) est la tension (en % de \(U_{2n}\)) nécessaire pour faire circuler le courant nominal \(I_n\) dans \(Z_t\) :

\[\frac{U_{cc}\%}{100} \times U_{2n} = \sqrt{3} \times I_n \times Z_t\]

D'où :

\[Z_t = \frac{U_{cc}\% \times U_{2n}}{100 \times \sqrt{3} \times I_n}\]

3 Égalisation et simplification

En égalisant les deux expressions de \(Z_t\) :

\[\frac{U_{2n}}{\sqrt{3} \times I_{cc}} = \frac{U_{cc}\% \times U_{2n}}{100 \times \sqrt{3} \times I_n}\]

On simplifie par \(U_{2n}\) et \(\sqrt{3}\) :

\[\frac{1}{I_{cc}} = \frac{U_{cc}\%}{100 \times I_n}\]

D'où la formule fondamentale :

\[\boxed{I_{cc} = \frac{100 \times I_n}{U_{cc}\%}}\]

4 Lien avec la puissance nominale

En remplaçant \(I_n\) par son expression en fonction de \(S_n\) :

\[I_{cc} = \frac{100}{U_{cc}\%} \times \frac{S_n}{\sqrt{3} \times U_{2n}}\]

Soit :

\[\boxed{I_{cc} = \frac{100 \times S_n}{\sqrt{3} \times U_{2n} \times U_{cc}\%}}\]

⚙️ 4. Formules Pratiques de Calcul

Méthode 1 : Via le courant nominal

\[I_{cc} = \frac{100 \times I_n}{U_{cc}\%}\]

Utilisation : Quand \(I_n\) est connu ou facilement calculable

Méthode 2 : Via la puissance nominale

\[I_{cc} = \frac{100 \times S_n}{\sqrt{3} \times U_{2n} \times U_{cc}\%}\]

Utilisation : Directement à partir des données de la plaque signalétique

Méthode 3 : Via l'impédance interne

\[Z_t = \frac{U_{cc}\% \times U_{2n}}{100 \times \sqrt{3} \times I_n} = \frac{U_{cc}\% \times U_{2n}^2}{100 \times S_n}\]

\[I_{cc} = \frac{U_{2n}}{\sqrt{3} \times Z_t}\]

Utilisation : Pour des calculs plus détaillés ou des études de réseau

💡 5. Exemple Détaillé

Données du transformateur

Puissance nominale : \(S_n = 630\) kVA
Tension secondaire nominale : \(U_{2n} = 400\) V
Tension de court-circuit : \(U_{cc}\% = 4\%\)

Calcul du courant nominal

\[I_n = \frac{S_n}{\sqrt{3} \times U_{2n}} = \frac{630\,000}{1.732 \times 400} = \frac{630\,000}{692.8} \approx 909\text{ A}\]

Calcul du courant de court-circuit (Méthode 1)

\[I_{cc} = \frac{100 \times I_n}{U_{cc}\%} = \frac{100 \times 909}{4} = \frac{90\,900}{4} = 22\,725\text{ A}\]

Vérification (Méthode 2)

\[I_{cc} = \frac{100 \times S_n}{\sqrt{3} \times U_{2n} \times U_{cc}\%} = \frac{100 \times 630\,000}{1.732 \times 400 \times 4}\] \[= \frac{63\,000\,000}{2771.2} \approx 22\,725\text{ A}\]

Calcul de l'impédance interne

\[Z_t = \frac{U_{2n}}{\sqrt{3} \times I_{cc}} = \frac{400}{1.732 \times 22\,725} \approx 0.01016\text{ Ω} = 10.2\text{ mΩ}\]

📌 Interprétation :

Le courant de court-circuit est 25 fois supérieur au courant nominal (100/4 = 25)
L'impédance interne du transformateur est très faible (10.2 mΩ)
Ce courant élevé nécessite des protections adaptées (disjoncteurs, fusibles)

📝 6. Exercices d'Application

Exercice 1

Données : Transformateur 250 kVA, \(U_{2n} = 400\) V, \(U_{cc}\% = 5\%\)

Questions :

Calculer le courant nominal \(I_n\)
Calculer le courant de court-circuit \(I_{cc}\)
Calculer l'impédance interne \(Z_t\)

1. Courant nominal :

\[I_n = \frac{250\,000}{1.732 \times 400} = \frac{250\,000}{692.8} \approx 361\text{ A}\]

2. Courant de court-circuit :

\[I_{cc} = \frac{100 \times 361}{5} = \frac{36\,100}{5} = 7\,220\text{ A}\]

3. Impédance interne :

\[Z_t = \frac{U_{2n}}{\sqrt{3} \times I_{cc}} = \frac{400}{1.732 \times 7\,220} \approx 0.0320\text{ Ω} = 32.0\text{ mΩ}\]

Exercice 2

Données : Transformateur 1000 kVA, \(U_{2n} = 400\) V, \(U_{cc}\% = 6\%\)

Questions :

Calculer directement \(I_{cc}\) avec la méthode 2
Quel est le rapport \(I_{cc}/I_n\) ?

1. Courant de court-circuit :

\[I_{cc} = \frac{100 \times 1\,000\,000}{1.732 \times 400 \times 6} = \frac{100\,000\,000}{4156.8} \approx 24\,057\text{ A}\]

2. Rapport :

\[\frac{I_{cc}}{I_n} = \frac{100}{U_{cc}\%} = \frac{100}{6} \approx 16.67\]

Le courant de court-circuit est environ 16.67 fois le courant nominal.

Exercice 3

Données : \(I_n = 1443\) A, \(U_{cc}\% = 4.5\%\)

Question : Calculer \(I_{cc}\)

Courant de court-circuit :

\[I_{cc} = \frac{100 \times 1443}{4.5} = \frac{144\,300}{4.5} = 32\,067\text{ A}\]

🎯 7. Points Clés à Retenir

Formule principale : \(I_{cc} = \dfrac{100 \times I_n}{U_{cc}\%}\)
Proportionnalité inverse : Plus \(U_{cc}\%\) est faible, plus \(I_{cc}\) est élevé
Rapport constant : \(\dfrac{I_{cc}}{I_n} = \dfrac{100}{U_{cc}\%}\)
Impédance interne : \(Z_{cc}\) est considérée constante à fréquence fixe
Valeurs typiques : \(U_{cc}\%\) entre 4% et 6% pour les transformateurs de distribution
Sécurité : Le dimensionnement des protections doit tenir compte de \(I_{cc}\)
Notation CORRIGÉE : \(U_{2n}\) désigne la tension nominale composée au secondaire, \(U_{20}\) la tension à vide
Puissance nominale : S = √3 × U₂ₙ × Iₙ (et NON pas U₂₀)