馃摎 Simplification en Logique Bool茅enne

Cours et exercices pratiques

馃摉 Cours : Lois fondamentales de l'alg猫bre de Boole

1. Lois de base

Identit茅
  • A + 0 = A
  • A 路 1 = A
Null
  • A + 1 = 1
  • A 路 0 = 0
Idempotence
  • A + A = A
  • A 路 A = A
Compl茅mentation
  • A + 膧 = 1
  • A 路 膧 = 0
Involution
  • 膧虅 = A

2. Lois de commutativit茅, associativit茅 et distributivit茅

Commutativit茅
  • A + B = B + A
  • A 路 B = B 路 A
Associativit茅
  • (A + B) + C = A + (B + C)
  • (A 路 B) 路 C = A 路 (B 路 C)
Distributivit茅
  • A 路 (B + C) = A路B + A路C
  • A + (B 路 C) = (A + B) 路 (A + C)

3. Lois de De Morgan

  • A + B = 膧 路 B虅
  • A 路 B = 膧 + B虅

4. Th茅or猫mes d'absorption

  • A + A路B = A
  • A 路 (A + B) = A
  • A + 膧路B = A + B
  • A 路 (膧 + B) = A路B

馃敡 M茅thode alg茅brique de simplification

  1. D茅velopper l'expression si n茅cessaire
  2. Appliquer les lois de De Morgan pour 茅liminer les barres multiples
  3. Regrouper les termes identiques (idempotence)
  4. Factoriser et appliquer les th茅or猫mes d'absorption
  5. Simplifier jusqu'脿 obtenir la forme minimale

馃搳 M茅thode du tableau de Karnaugh

Le tableau de Karnaugh permet une simplification graphique en regroupant les cases adjacentes contenant des 1.

R猫gles importantes :
  • Regrouper par puissances de 2 (1, 2, 4, 8...)
  • Maximiser la taille des groupes
  • Minimiser le nombre de groupes
  • Les groupes peuvent se chevaucher
  • Le tableau est cyclique (bords oppos茅s adjacents)

鉁忥笍 S茅rie d'exercices

1
Simplification basique
D茅butant
S = A路B + A路B虅
  1. Simplifier par la m茅thode alg茅brique
  2. Simplifier par tableau de Karnaugh (2 variables)
2
Th茅or猫me d'absorption
D茅butant
S = A + A路B
  1. Simplifier par la m茅thode alg茅brique
  2. V茅rifier avec un tableau de Karnaugh
3
Trois variables
Interm茅diaire
S = A路B路C + A路B路C虅 + A路B虅路C
  1. Simplifier par la m茅thode alg茅brique
  2. Simplifier par tableau de Karnaugh (3 variables)
4
Regroupements multiples
Interm茅diaire
S = 膧路B虅路C + 膧路B路C + A路B虅路C + A路B路C
  1. Simplifier par la m茅thode alg茅brique
  2. Simplifier par tableau de Karnaugh (3 variables)
5
Consensus
Interm茅diaire
S = A路B + 膧路C + B路C
  1. Simplifier par la m茅thode alg茅brique
  2. Simplifier par tableau de Karnaugh (3 variables)
6
Quatre variables
Avanc茅
S = A路B路C路D + A路B路C路D虅 + A路B虅路C路D + A路B虅路C路D虅 + 膧路B路C路D
  1. Simplifier par la m茅thode alg茅brique
  2. Simplifier par tableau de Karnaugh (4 variables)
8
Application pratique - Syst猫me d'alarme
Interm茅diaire

Contexte : Un syst猫me d'alarme se d茅clenche (S=1) dans les conditions suivantes :

  • A = 1 : porte ouverte
  • B = 1 : fen锚tre ouverte
  • C = 1 : syst猫me arm茅

L'alarme sonne si le syst猫me est arm茅 ET (la porte OU la fen锚tre est ouverte).

  1. 脡crire l'茅quation logique
  2. Simplifier par les deux m茅thodes
  3. Dessiner le circuit logique simplifi茅
9
Lois de De Morgan
Interm茅diaire
S = A路B虅 + 膧路B虅
  1. Simplifier par la m茅thode alg茅brique (utiliser De Morgan)
  2. Simplifier par tableau de Karnaugh
10
Synth猫se compl猫te
Avanc茅
S = A路B路C虅路D虅 + A路B路C虅路D + A路B路C路D虅 + A路B路C路D + 膧路B路C路D
  1. Simplifier par tableau de Karnaugh (4 variables)
  2. V茅rifier le r茅sultat alg茅briquement

馃挕 Conseils pour les 茅l猫ves

  • Toujours v茅rifier que les deux m茅thodes donnent le m锚me r茅sultat
  • Le tableau de Karnaugh est plus rapide pour 3-4 variables
  • La m茅thode alg茅brique d茅veloppe la rigueur math茅matique
  • Dessiner les circuits avant et apr猫s simplification pour visualiser le gain